Question

8．设集合A=B={（x，y）|x，y∈R}，f是A到B的一个映射，并满足f：（x，y）→（-xy，x-y）
（1）A中的哪一个元素对应B中的元素（3，4）？
（2）试探索B中哪些元素可以由A中元素对应而得；
（3）求B中元素（a，b）在A中有且只有一个与它对应时，a，b满足的关系式．

Answer 1

分析 （1）由题意得到-xy=3，x-y=4，从而能求出A中元素（3，-1）和（1，-3）对应B中的元素（3，4）．
（2）假设B中元素为（a，b），则-xy=a，x-y=b，从而x，-y为方程u²-bu+a=0的根，由此能求出只要B中的元素（a，b）满足b²≥4a，则它在A中存在对应元素．
（3）假设B中元素为（a，b），由B中元素（a，b）在A中有且只有一个与它对应，得到△=b²-4a=0，从而a，b满足的关系式为b²=4a．

解答 解：（1）∵集合A=B={（x，y）|x，y∈R}，f是A到B的一个映射，并满足f：（x，y）→（-xy，x-y）
A中的元素（x，y）对应B中的元素（3，4），
∴-xy=3，x-y=4得：$\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=-1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-3\end{array}\right.$，
故A中元素（3，-1）和（1，-3）对应B中的元素（3，4）；
（2）假设B中元素为（a，b），
则-xy=a，x-y=b
则x，-y为方程u²-bu+a=0的根，
∴△=b²-4a≥0，
∴只要B中的元素（a，b）满足b²≥4a，则它在A中存在对应元素．
（3）假设B中元素为（a，b），
则-xy=a，x-y=b
则x，-y为方程u²-bu+a=0的根，
∵B中元素（a，b）在A中有且只有一个与它对应，
∴△=b²-4a=0，
∴a，b满足的关系式为b²=4a．

点评 本题考查映射的性质及应用，涉及到函数性质、根的判别式等基础知识，考查化归与转化思想，考查推理论证能力，运算求解能力，属于中档题．