Question

7．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x_i和年销售量y_i（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

$\overline x$	$\overline y$	$\overline w$	${\sum_{i=1}^8{（{x_i}-\overline x）}^2}$	${\sum_{i=1}^8{（{w_i}-\overline w）}^2}$	$\sum_{i=1}^8{（{x_i}-\overline x）}（{y_i}-\overline y）$	$\sum_{i=1}^8{（{w_i}-\overline w）}（{y_i}-\overline y）$
46.6	56.3	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

表中w_i=$\sqrt{x_i}$，$\overline w=\frac{1}{8}\sum_{i=1}^8{w_i}$
（1）若根据散点图用y=c+d$\sqrt{x}$表示年销售量y关于年宣传费x的回归方程，试根据表中数据，求c，d的值；
（2）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x，根据（1）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（u₁，v₁），（u₂，v₂），…，（u_n，v_n），其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{v_i}-\overline v）（{u_i}-\overline u）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{u_i}-\overline u）}^2}}}}$α=$\overline v-β\overline u$．

Answer 1

分析 （1）根据散点图，即可判断出结论，建立线性回归方程，求出d、c的值；
（2）（i）由（1）计算年销售量y的预报值与利润值；
（ii）根据（Ⅱ）的结果求出年利润z的函数，求出年利润的最大值．

解答 解：（1）由散点图可以判断，y=c+d$\sqrt{x}$适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；
令w=$\sqrt{x}$，先建立y关于w的线性回归方程，由于d=$\frac{108.6}{1.6}$=68，
c=y-dw=563-68×6.8=100.6，
所以y关于w的线性回归方程为y=100.6+68w，
因此y关于x的回归方程为y=100.6+68$\sqrt{x}$，
（2）（i）由（1）知，当x=49时，年销售量y的预报值y=100.6+68$\sqrt{x}$=576.6，
年利润z的预报值z=576.6×0.2-49=66.32，
（ii）根据（1）的结果可知，年利润z的预报值z=0.2（100.6+68$\sqrt{x}$）-x=-x+13.6$\sqrt{x}$+20.12，
当$\sqrt{x}$=$\frac{13.6}{2}$=6.8时，年利润的预报值最大，为66.36千元．

点评 本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题．