Question

过抛物线y²=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线（　　）

• A、有且仅有一条
• B、有且仅有两条
• C、有无穷多条
• D、不存在

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：过抛物线y²=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，先看直线AB斜率不存在时，求得横坐标之和等于2，符合题意；进而设直线AB为y=k（x-1）与抛物线方程联立消去y，进而根据韦达定理表示出A、B两点的横坐标之和，方程无解，进而得出结论．

解答： 解：过抛物线y²=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，
若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于2，适合．
故设直线AB的斜率为k，则直线AB方程为y=k（x-1）
代入抛物线y²=4x得，k²x²-2（k²+2）x+k²=0
∵A、B两点的横坐标之和等于2，
∴

2(k2+2)

k2

=2，
∴方程无解，
∴这样的直线不存在．
故选A．

点评：本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．