Question

20．已知函数f（x）=2lnx+$\frac{1}{2}$（x-a）²（a为常数），当x=1时，f（x）取得极值．
（1）求a的值，并写出f（x）的单调增区间；
（2）若关于x的方程f（x）=b在（0，3]上有且只有一解，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数f（x）的导数，通过f′（1）=0，求出a的值，从而求出函数的递增区间；
（2）求出函数f（x）在（0，3]的单调性，从而得到函数的极值，画出函数的图象，问题转化为求两个函数的交点问题，通过图象即可读出．

解答 解：（1）∵f（x）=2lnx+$\frac{1}{2}$（x-a）²（a为常数），
∴f′（x）=$\frac{2}{x}$+（x-a），∴f′（1）=2+1-a=0，解得：a=3，
∴f（x）=2lnx+$\frac{1}{2}$（x-3）²，
f′（x）=$\frac{2}{x}$+（x-3）＞0，解得：x＞2或0＜x＜1，
∴函数f（x）在（0，1）和（2，+∞）单调递增；
（2）由（1）得：f（x）在（0，1）递增，在（1，2）递减，在（2，3]递增，
而f（1）=2，f（2）=2ln2+$\frac{1}{2}$，f（3）=2ln3，
画出函数f（x）在（0，3]上的图象，如图示：
，
若关于x的方程f（x）=b在（0，3]上有且只有一解，
即函数y=f（x）和函数y=b在（0，3]有且只有1个交点，
∴2＜b≤2ln3，或b＜2ln2+$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，考查转化思想，数形结合思想，是一道中档题．