Question

8．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F（1，0），若点P在抛物线C上运动，点Q在直线x+y+5=0上运动，则|PQ|的最小值为（　　）

• A． $\frac{9\sqrt{2}}{4}$
• B． $\frac{19\sqrt{2}}{8}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由y²=2px的焦点坐标为F（1，0），所以p＞0，且$\frac{P}{2}$=1，从而求得p值，设与直线x+y+5=0平行的抛物线的切线方程为x+y+m=0，直线x+y+5=0与切线距离即为|PQ|的最小值，联立切线方程与抛物线方程消掉x得y的二次方程，令△=0可求得m值，从而得切线方程，根据平行线间的间距离公式即可求得答案．

解答 解：因为y²=2px的焦点坐标为F（1，0），
所以p＞0，且$\frac{P}{2}$=1，解得p=2，
所以抛物线方程为y²=4x，
设与直线x+y+5=0平行的抛物线的切线方程为x+y+m=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y+m=0}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得y²+4y+4m=0，
令△=0，即4²-4×4m=0，解得m=1，
则切线方程为x+y+1=0，
两平行线间的距离d=$\frac{|5-1|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
即为|PQ|的最小值．
故选C．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、抛物线的性质，考查转化思想，解决本题的关键把|PQ|的最小值转化为直线与抛物线切线间的距离求解．