Question

18．已知函数f（x）=x²-2（a-1）x+2，x∈[-5，5]．
（1）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[-5，5]上是单调函数；
（2）求f（x）最小值．

Answer 1

分析 （1）通过配方可知函数y=f（x）的图象是以x=a-1为对称轴、开口向上的抛物线，进而可得结论；
（2）通过（1）、分对称轴在区间[-5，5]的左侧、中间、右侧三种情况讨论即可．

解答 解：（1）f（x）=x²-2（a-1）x+2
=[x-（a-1）]²+2-（a-1）²
=[x-（a-1）]²+1+2a-a²，
∴当a-1≤-5或a-1≥5即a≤-4或a≥6时y=f（x）在区间[-5，5]上是单调函数；
（2）通过（1）可知，当a≤-4时，y=f（x）在区间[-5，5]上单调递增，
∴f（x）_min=f（-5）=25+10a-10+2=10a+17；
当a≥6时，y=f（x）在区间[-5，5]上单调递减，
∴f（x）_min=f（5）=25-10a+10+2=-10a+37；
当-4＜a＜6时，y=f（x）在区间[-5，a-1）上单调递减，在区间[a-1，5]上单调递增，
∴f（x）_min=f（a-1）=1+2a-a²；
综上所述，f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{10a+17，}&{a≤-4}\\{1+2a-{a}^{2}，}&{-4＜a＜6}\\{-10a+37，}&{a≥6}\end{array}\right.$．

点评 本题考查二次函数的性质，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．