Question

6．设a＞3，数列{a_n}中，a₁=a，a_n+1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{2{a}_{n}-3}$，n∈N^*．
（Ⅰ）求证：a_n＞3，且$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$＜1；
（Ⅱ）当a≤4时，证明：a_n≤3+$\frac{1}{{5}^{n-1}}$．

Answer 1

分析 （I）作差a_n+1-3=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{2{a}_{n}-3}$-3=$\frac{（{a}_{n}-3）^{2}}{2（{a}_{n}-\frac{3}{2}）}$．${a}_{n+1}-\frac{3}{2}$=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{2{a}_{n}-3}$-$\frac{3}{2}$=$\frac{（{a}_{n}-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{9}{4}}{2（{a}_{n}-\frac{3}{2}）}$，可得（${a}_{n+1}-\frac{3}{2}$）$（{a}_{n}-\frac{3}{2}）$=$\frac{（{a}_{n}-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{9}{4}}{2}$＞0，${a}_{n+1}-\frac{3}{2}$与${a}_{n}-\frac{3}{2}$同号，又a＞3，${a}_{1}-\frac{3}{2}$=a-$\frac{3}{2}$＞0，进而得到a_n＞3（n=1时也成立），可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}-3}$＜1，综上可得：a_n＞3，且$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$＜1；
（Ⅱ）当a≤4时，可得a_n+1-3=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{2{a}_{n}-3}$-3=$\frac{（{a}_{n}-3）^{2}}{2{a}_{n}-3}$．$\frac{{a}_{n+1}-3}{{a}_{n}-3}$=$\frac{{a}_{n}-3}{2{a}_{n}-3}$，由（I）可知：3＜a_n≤4．设a_n-3=t∈（0，1]．可得$\frac{{a}_{n+1}-3}{{a}_{n}-3}$=$\frac{t}{2t+3}$=$\frac{1}{2+\frac{3}{t}}$≤$\frac{1}{5}$，即可证明结论．

解答 证明：（I）∵a_n+1-3=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{2{a}_{n}-3}$-3=$\frac{（{a}_{n}-3）^{2}}{2（{a}_{n}-\frac{3}{2}）}$．${a}_{n+1}-\frac{3}{2}$=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{2{a}_{n}-3}$-$\frac{3}{2}$=$\frac{（{a}_{n}-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{9}{4}}{2（{a}_{n}-\frac{3}{2}）}$，
∴（${a}_{n+1}-\frac{3}{2}$）$（{a}_{n}-\frac{3}{2}）$=$\frac{（{a}_{n}-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{9}{4}}{2}$＞0，∴${a}_{n+1}-\frac{3}{2}$与${a}_{n}-\frac{3}{2}$同号，又a＞3，∴${a}_{1}-\frac{3}{2}$=a-$\frac{3}{2}$＞0，∴${a}_{n}-\frac{3}{2}$＞0，
∴a_n+1-3＞0，即a_n＞3（n=1时也成立）．
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}-3}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+{a}_{n}-3}$＜1．
综上可得：a_n＞3，且$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$＜1；
（Ⅱ）当a≤4时，∵a_n+1-3=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{2{a}_{n}-3}$-3=$\frac{（{a}_{n}-3）^{2}}{2{a}_{n}-3}$．
∴$\frac{{a}_{n+1}-3}{{a}_{n}-3}$=$\frac{{a}_{n}-3}{2{a}_{n}-3}$，
由（I）可知：3＜a_n≤a₁=a≤4，
∴3＜a_n≤4．
设a_n-3=t∈（0，1]．
∴$\frac{{a}_{n+1}-3}{{a}_{n}-3}$=$\frac{t}{2t+3}$=$\frac{1}{2+\frac{3}{t}}$≤$\frac{1}{5}$，
∴$\frac{{a}_{2}-3}{{a}_{1}-3}•\frac{{a}_{3}-3}{{a}_{2}-3}$•…•$\frac{{a}_{n}-3}{{a}_{n-1}-3}$≤$（\frac{1}{5}）^{n-1}$，
∴a_n-3≤（a₁-3）×$（\frac{1}{5}）^{n-1}$≤$（\frac{1}{5}）^{n-1}$，
∴a_n≤3+$\frac{1}{{5}^{n-1}}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式及其性质、不等式的性质、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．