Question

1．如图，已知ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2．
（Ⅰ）求异面直线A₁C与B₁C₁所成角的余弦值大小；
（Ⅱ）求三棱锥C-ABC₁的体积${V_{C-AB{C_1}}}$．

Answer 1

分析 （1）求异面直线所成角，常规思想：平行作角，构造三角形求角；
（2）三棱锥C-ABC₁的体积直接求解不太合适，则采用等体积法，可转化为以C₁为顶点，以△ABC为底面，再计算体积．

解答 解：（Ⅰ）如图，连接A₁B，∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，C₁B₁∥CB，
∴∠A₁CB（或其补角）是异面直线A₁C与B₁C₁所成的角…（2分）
∵四边形AA₁C₁C与AA₁B₁B都是边长为2的正方形，
∴$|{{A_1}C}|=|{{A_1}B}|=2\sqrt{2}$，
△A₁CB中，根据余弦定理，
得cos∠A₁CB=$\frac{2{\sqrt{2}}^{2}+{2}^{2}-2{\sqrt{2}}^{2}}{2×2\sqrt{2}×2}$=$\frac{4}{8\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$…（5分）
∴异面直线A₁C与B₁C₁所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$…（6分）
（Ⅱ）∵△ABC的面积${S_{△ABC}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}×{2^2}=\sqrt{3}$，高CC₁=2，
∴正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积$V={S_{△ABC}}×C{C_1}=2\sqrt{3}$…（8分）
而三棱锥C₁-ABC与正三棱柱ABC-A₁B₁C₁同底等高，
∴三棱锥C₁-ABC的体积${V_{{C_1}-ABC}}=\frac{1}{3}{V_{ABC-{A_1}{B_1}{C_1}}}=\frac{2}{3}\sqrt{3}$，…（10分）
又∵${V_{C-AB{C_1}}}={V_{{C_1}-ABC}}$，
∴三棱锥C-ABC₁的体积为$\frac{2}{3}\sqrt{3}$…（12分）

点评 本题考查了几何体中异面直线所成角的常规求解方法，对三棱锥的体积求解方法：公式法和等体积法；本题所考查的求异面直线所成角的方法和求三棱锥体积的等体积法，均要求学生掌握好，属于中档题．