Question

已知函数f（x）=

1

1+x2

（I）判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）用单调性定义确定函数f（x）在（-∞，0）上是增函数还是减函数？

Answer 1

分析：（1）利用函数的奇偶性即可判断出；
（2）利用函数的单调性的定义即可判断出其单调性．

解答：解：（1）由已知定义域为R，f(-x)=

1

1+(-x)2

=f(x)，∴函数f（x）为偶函数；
（2）证明：设任意的x₁＜x₂＜0，
则f（x₁）-f（x₂）=

1

1+x12

-

1

1+x22

=

(x2-x1)(x2+x1)

(1+x22)(1+x12)

，
∵x₁＜x₂＜0，∴x₂-x₁＞0，x₂+x₁＜0，(1+x12)(1+x22)＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在（-∞，0）上是增函数．

点评：熟练掌握函数的奇偶性和单调性是解题的关键．