Question

设函数f(x)＝axⁿ(1－x)＋b(x>0)，n为正整数，a，b为常数．曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x＋y＝1.

(1)求a，b的值；

(2)求函数f(x)的最大值．

Answer 1

解　(1)因为f(1)＝b，由点(1，b)在x＋y＝1上，

可得1＋b＝1，即b＝0.

因为f′(x)＝anx^n－1－a(n＋1)xⁿ，所以f′(1)＝－a.

又因为切线x＋y＝1的斜率为－1，

所以－a＝－1，即a＝1.故a＝1，b＝0.

(2)由(1)知，f(x)＝xⁿ(1－x)＝xⁿ－x^n＋1，

.

令f′(x)＝0，解得x＝，

在上，f′(x)>0，

故f(x)单调递增；

而在上，f′(x)<0，

故f(x)单调递减．

故f(x)在(0，＋∞)上的最大值为