Question

（本题满分12分）如图，在三棱锥中，底面,,,分别是的中点，在上，且.

（1）求证：平面;

（2）在线段上上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）详见解析 （2）满足条件的点存在，且

【解析】

试题分析：第（1）问证明平面，基本思路是证明与平面内的两条相交直线垂直，注意合理利用题设条件给出的数量关系和图形关系；第（2）问应抓住两点找到问题的求解方向：一是点的预设位置，二是二面角的位置．涉及空间二面角的问题，可以从两个不同的方法上得到求解，即常规法和向量法．

试题解析：（1）由，，

是的中点，得．

因为底面，所以．

在中，，所以．

因此，又因为，

所以，

则，即.

因为底面，所以，又，

所以底面，则．

又，所以平面．

（2）解法1（常规法）：假设满足条件的点存在，并设．

过点作交于点，

又由，，得平面．

作交于点，连结，则．

于是为二面角的平面角，

即，由此可得．

由，得，于是有，．

在中，，即，解得．

于是满足条件的点存在，且.

（2）解法2（向量法）：假设满足条件的点存在，并设．以为坐标原点，分别以，

，为，，轴建立空间直线坐标系，则，，，

．

由得．

所以，，.

设平面的法向量为，则

，即，取，得，，即．

设平面的法向量为，则

，即，取，得，，即．

由二面角的大小为，得，

化简得，又，求得.

于是满足条件的点存在，且．

考点：线面关系的平行或垂直的证明及空间角的计算．