Question

2．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=SB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．
（1）求证：SC⊥平面AMN；
（2）求二面角D-AC-M的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明SC⊥平面AMN．
（2）求出平面ABCD的一个法向量和平面ACM的法向量，利用向量法能求出二面角D-AC-M的余弦值．

解答 证明：（1）∵在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD
∴以A为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，
由SA=AB，设AB=AD=AS=1，
则A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（1，0，0），S（0，0，1），M（$\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{1}{2}，0，\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{CS}$=（-1，-1，1），
$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{CS}$=-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$=0，∴$\overrightarrow{AM}⊥\overrightarrow{CS}$，
∴SC⊥⊥AM，
又SC⊥AN，且AN∩AM=A，
∴SC⊥平面AMN．
解：（2）∵SA⊥底面ABCD，∴$\overrightarrow{AS}$是平面ABCD的一个法向量，且$\overrightarrow{AS}$=（0，0，1），
设平面ACM的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{1}{2}，0，\frac{1}{2}$），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}=x+y=0}\\{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{n}=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=-1，得$\overrightarrow{n}$=（-1，1，1），
cos＜$\overrightarrow{AS}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{AS}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AS}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由图形知二面角D-AC-M为锐二面角，
∴二面角D-AC-M的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．