Question

已知函数f（x）=log_a（a^x-1），（0＜a＜1）
（1）求f（x）的定义域；
（2）解不等式f（2x）＜log_a（a^x+1）．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据对数函数和指数函数的图象和性质，即可求出定义域，
（2）根据对数函数的性质得到a^2x-1＞a^x+1，再根据指数函数的性质解得x范围

解答： 解：∵函数f（x）=log_a（a^x-1）有意义，
则a^x-1＞0，
即a^x＞1=a⁰，
∵0＜a＜1，
∴x＜0，
即函数f（x）的定义域为（-∞，0），
（2）∵f（2x）＜log_a（a^x+1）．
∴log_a（a^2x-1）＜log_a（a^x+1）．
∵0＜a＜1
∴a^2x-1＞a^x+1．
即（a^x-2）（a^x+1）＞0．
∴a^x-2＞0．
解得x＜log_a2，
故原不等式的解集为（-∞，log_a2）

点评：本题主要考查了指数函数和对数函数的性质以及不等式的解法，属于基础题