Question

【题目】已知椭圆C： （a＞0，b＞0）的离心率为 ，点A（0，﹣2）与椭圆右焦点F的连线的斜率为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）O为坐标原点，过点A的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：设F（c，0）．

∵直线AF的斜率为 ，

∴ = ，解得c= ．

又离心率为e= = ，

由b2=a2﹣c2，解得：a=2，b=1，

∴椭圆E的方程为 +y2=1．

（2）解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2，与椭圆方程联立，

整理得：（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0时，即k2＞ 时，

x1+x2= ，x1x2= ，

∴|PQ|= ，

∵点O到直线l的距离d= ，

∴S△OPQ= d|PQ|= ，

设 =t＞0，则4k2=t2+3，

∴S△OPQ= = ≤1，

当且仅当t=2，即 =2，解得k=± 时取等号，且满足△＞0，

∴△OPQ的面积最大时，直线l的方程为：y=± x﹣2

【解析】（1）设F（c，0），利用直线的斜率公式可得关于c的方程，求出c，由离心率e= = ，求得a，由b2=a2﹣c2 ， 求得b的值，即可求得椭圆C的方程；（2）设P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2，与椭圆的方程联立可得（1+4k2）x2﹣16kx12=0，求出方程的根，从而表示出|PQ|以及点O到直线PQ的距离，从而表示出S△OPQ ， 再利用基本不等式的性质即可得出直线l的方程．