Question

【题目】已知函数．

（1）证明：函数在区间存在唯一的极小值点，且；

（2）证明：函数有且仅有两个零点．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）求出，再说明在区间单调递增，且，即可。

（2）验证，即是函数的一个零点；说明当无零点；当时有且仅有一个零点。即得证。

证明：（1）由．

令，当时，函数为增函数，指数函数也为增函数，故当时，函数为增函数．

又因为，可得，有，

，故存在唯一的使得．

所以当时，即；当时，，即，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以函数在区间存在唯一的极小值点，且．

（2）①由，可得是函数的一个零点；

②当时，，，可得，此时函数没有零点；

③当时，由．

由（1）知，可得函数在区间上有且仅有一个零点．

综上，函数有且仅有两个零点．