Question

17．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，AD=DC=CB=2，四边形ACFE是矩形，AE=1，平面ACFE⊥平面ABCD，点G是BF的中点．
（1）求证：CG∥平面ADF；
（2）求三棱锥E-AFB的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB的中点H，连接CH，GH，由已知可得四边形AHCD是平行四边形，得到CH∥DA，进一步得到CH∥平面ADF，由GH是三角形ABF的中位线可得有GH∥平面ADF，由面面平行的判定得平面CGH∥平面ADF，继而得到CG∥平面ADF；
（Ⅱ）由AB∥CD，结合已知得到四边形ABCD是等腰梯形，由H是AB的中点，可得四边形AHCD是菱形，得到BC⊥AC，又平面ACFE⊥平面ABCD，得到BC⊥平面ACEF，可知BC是三棱锥B-AEF的高，然后利用等积法求得三棱锥E-AFB的体积．

解答 （Ⅰ）证明：取AB的中点H，连接CH，GH，

∵AB=2AH=2CD，且DC∥AB，
∴AH∥DC且AH=DC，
∴四边形AHCD是平行四边形，
∴CH∥DA，则有CH∥平面ADF，
∵GH是三角形ABF的中位线，
∴GH∥AF，则有GH∥平面ADF，
又CH∩GH=H，
∴平面CGH∥平面ADF，
CG?平面CHG，则CG∥平面ADF；
（Ⅱ）解：∵AB∥CD，AB=2AD=2CD=2CB=4，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
H是AB的中点，
∴四边形AHCD是菱形，CH=2，
∴BC⊥AC，
又∵平面ACFE⊥平面ABCD，交线为AC，
∴BC⊥平面ACEF，
即BC是三棱锥B-AEF的高，且BC=2，
∵V_E-AFB=V_B-AEF，
在等腰三角形ADC中，求得AC=2$\sqrt{3}$，
∴V_E-AFB=V_B-AEF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查了棱锥体积的求法，训练了等积法，是中档题．