Question

4．如图，空间四边形OABC中，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，分$\overrightarrow{MN}$所成的定比为2，$\overrightarrow{OG}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}$，则x、y、z的值分别为$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 根据$\overrightarrow{OG}$=$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MG}$，$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{MG}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{MN}$，$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}$，$\overrightarrow{ON}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$，代入计算即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{OG}$=$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MG}$，$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{MG}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{MN}$，
$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}$，$\overrightarrow{ON}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$，
∴$\overrightarrow{OG}$=$\frac{1}{6}\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$．
∴$x=\frac{1}{6}$，$y=z=\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了向量平行四边形法则、向量共线定理、空间向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．