Question

16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
（1）若acosB+bcos（B+C）=0，证明：△ABC为等腰三角形；
（2）若角A，B，C成等差数列，b=2．求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由acosB+bcos（B+C）=0，得sinAcosB-sinBcosA=0，从而sin（A-B）=0，进而A=B，由此能证明△ABC为等腰三角形．
（2）由角A，B，C成等差数列，$B=\frac{π}{3}$，得到4+ac=a²+c²，由a²+c²≥2ac，得到ac≤4（当且仅当a=c时，取等号），由此能求出△ABC面积的最大值．

解答 证明：（1）由acosB+bcos（B+C）=0，
得：sinAcosB+sinBcos（π-A）=0
即sinAcosB-sinBcosA=0，
即sin（A-B）=0，即A-B=kπ，k∈Z，
又因为A，B是三角形的内角，A-B=0，即A=B，
∴△ABC为等腰三角形．…（6分）
解：（2）因为角A，B，C成等差数列，$B=\frac{π}{3}$，
所以b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac
即4+ac=a²+c²，因为a²+c²≥2ac（当且仅当a=c时，取等号）
即4+ac≥2ac，即ac≤4（当且仅当a=c时，取等号）
故${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB≤\sqrt{3}$，
故△ABC面积的最大值为$\sqrt{3}$…（12分）

点评 本题考查三角形为等腰三角形的证明，考查三角形的最大面积的求法，考查三角形面积、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．