Question

8．若函数$f（x）=\frac{a（1-x）}{x+1}+lnx$在定义域上是增函数，则实数a的取值范围为（-∞，2]．

Answer 1

分析 求出f′（x）=$\frac{-2ax+（x+1）^{2}}{x（x+1）}$≥0在定义域上恒成立，设g（x）=（x+1）²-2ax，由题意x＞0，且g（x）≥0，g′（x）=2（x+1）-2a，当x=a-1时，g（x）取最小值，由此能求出实数a的取值范围．

解答 解：∵函数$f（x）=\frac{a（1-x）}{x+1}+lnx$，
∴f′（x）=$\frac{-a（x+1）-a（1-x）}{（x+1）^{2}}$+$\frac{1}{x}$
=$\frac{-2ax+（x+1）^{2}}{x（x+1）}$，x＞0，
∵函数$f（x）=\frac{a（1-x）}{x+1}+lnx$在定义域上是增函数，
∴f′（x）=$\frac{-2ax+（x+1）^{2}}{x（x+1）}$≥0在定义域上恒成立，
∵x＞0，∴当a＜0时，f′（x）=$\frac{-2ax+（x+1）^{2}}{x（x+1）}$≥0在定义域上恒成立，
当a≥0时，
设g（x）=（x+1）²-2ax，由题意x＞0，且g（x）≥0，
g′（x）=2（x+1）-2a，
∵函数$f（x）=\frac{a（1-x）}{x+1}+lnx$在定义域上是增函数，
∴当x=a-1时，g（x）取最小值，
则由g（a-1）=2a-a²≥0，得0≤a≤2．
综上：a≤2．
∴实数a的取值范围为（-∞，2]．
故答案为：（-∞，2]．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质、构造法的合理运用．