Question

18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知$A=\frac{π}{4}$，$bcos（\frac{π}{4}-C）-csin（\frac{π}{4}+B）=a$．
（1）求证：$B-C=\frac{π}{2}$；
（2）若a=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理得：sinBcosC-sinCsinB=1，从而sin（B-C）=1，由此能证明$B-C=\frac{π}{2}$．
（2）由$B+C=\frac{3π}{4}$，得$B=\frac{5π}{8}$，$C=\frac{π}{8}$，由$A=\frac{π}{4}$，a=2，利用正弦定理求出b，c，由此能求出三角形△ABC的面积．

解答 证明：（1）由 $bcos（\frac{π}{4}-C）-csin（\frac{π}{4}+B）=a$及正弦定理得：
$sinBcos（\frac{π}{4}-C）-sinCsin（\frac{π}{4}+B）=sinA$…（2分）
整理得：sinBcosC-sinCsinB=1，
所以sin（B-C）=1，又$0＜B\;，\;C＜\frac{3π}{4}$…（4分）
所以$B-C=\frac{π}{2}$…（6分）
解：（2）由（1）及$B+C=\frac{3π}{4}$，得$B=\frac{5π}{8}$，$C=\frac{π}{8}$，
又因为$A=\frac{π}{4}$，a=2…（8分）
所以$b=\frac{asinB}{sinA}=2\sqrt{2}sin\frac{5π}{8}$，$c=\frac{asinC}{sinA}=2\sqrt{2}sin\frac{π}{8}$，…（10分）
所以三角形△ABC的面积$S=\frac{1}{2}bcsinA=2\sqrt{2}sin\frac{5π}{8}sin\frac{π}{8}=\sqrt{2}sin\frac{π}{4}=1$…（12分）

点评 本题考查两角差为直角的证明，考查三角形面积的求法，考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．