Question

13．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知B=$\frac{π}{4}$，cosA-cos2A=0
（1）求角C；  
（2）若b²+c²=a-bc+2，求a，c值．

Answer 1

分析 （1）推导出2cos²A-cosA-1=0，从而cosA=-$\frac{1}{2}$，进而A=$\frac{2π}{3}$，由此能求出角C．
（2）由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²+bc，由此求出a，再由正弦定理能求出c．

解答 解：（1）∵在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，
B=$\frac{π}{4}$，cosA-cos2A=0，
∴2cos²A-cosA-1=0，解得cosA=-$\frac{1}{2}$，或cosA=1（舍去）．
∵0＜A＜π，∴A=$\frac{2π}{3}$，又B=$\frac{π}{4}$，∴C=$\frac{π}{12}$．…（5分）
（2）∵A=$\frac{2π}{3}$，∴a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²+bc，
又b²+c²=a-bc+2，∴a²=a+2，解得a=2，（舍负），…（8分）
又∵sinC=sin$\frac{π}{12}$=sin（$\frac{π}{3}-\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，…（10分）
由$\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}$，得c=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查三角形的角和边的求法，考查二倍角公式、同角三角函数关系式、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．