Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-ax²+bx，其中a、b是实数，
（Ⅰ）已知a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，求事件A：“f（x）是R上的单调增函数”发生的概率；
（Ⅱ）若f（x）是R上的奇函数，且b=-4，求f（x）的单调区间与极值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,列举法计算基本事件数及事件发生的概率

专题：导数的综合应用,概率与统计

分析：（Ⅰ）求出函数的导数，通过a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，推出基本事件的总数，事件A：“f（x）是R上的单调增函数”的个数，然后求解概率；
（Ⅱ）利用（Ⅰ），求出f（x）的表达式，求出函数的导数，通过列表，判断函数的单调性，然后求f（x）的单调区间与极值．

解答： 解：（I） 当a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}时，等可能发生的基本事件（a，b）共有9个，
事件A即f′（x）=x²-2ax+b≥0恒成立，即a²≤b，包含5个基本事件，即事件A发生的概率为

5

9

；  …（6分）
（Ⅱ） f（x）=

1

3

x³-4x，f′（x）=x²-4，由f′（x）=0可知x=±2，列表如下：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

所以f（x）的单调递增区间是（-∞，-2）和（2，+∞），单调递减区间是（-2，2），
f（x）在x=-2处取得极大值

16

3

；f（x）在x=2处取得极小值-

16

3

． …（12分）

点评：本题考查函数的导数的应用，单调性以及函数的极值的求法，古典概型求解概率，考查计算能力．