Question

已知实数a＞0，命题p：实数x满足x²-5ax+4a²＜0，命题q：实数x满足

x-4

x-2

≤0．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分而不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假,必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：（1）若a=1，求出命题p，q的等价条件，利用p∧q为真，则p，q为真，即可求实数x的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分而不必要条件，等价于，利用￢p是￢q的充分而不必要条件，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）若a=1，不等式为x²-5x+4＜0，即1＜x＜4，即p：1＜x＜4，
命题q：实数x满足

x-4

x-2

≤0，则2＜x≤4，即q：2＜x≤4，
若p∧q为真，则p，q同时为真，则实数x的取值范围是2＜x≤4；
（2）∵x²-5ax+4a²＜0，
∴（x-a）（x-4a）＜0，
若a＞0，则不等式的解为a＜x＜4a，
若a＜0，则不等式的解为4a＜x＜a，
∵q：2＜x≤4，
∴若￢p是￢q的充分而不必要条件，则q是p的充分而不必要条件，
则a＞0时，

a≤2 4a＞4

，解得1＜a≤2，
当a＜0，无解，
综上，实数a的取值范围是1＜a≤2．

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及不等式的求解，利用不等式的解法时解决本题的关键．