Question

已知直线l：x-y+4=0，一组直线l₁，l₂，…l_2n（n∈N^*）都与直线l平行，到直线l的距离依次为d，2d，…2nd（d＞0），且直线l_n恰好过原点．
（1）求出l_i（1≤i≤2n，i∈N^*）的方程（用n，i表示）；
（2）当l₅被两坐标轴截得的线段长为2

2

时，求n的值．

Answer 1

考点：直线的一般式方程与直线的平行关系

专题：直线与圆

分析：（1）由题意求出直线l_n的方程为x-y=0，由题意知直线l_n到直线l的距离为nd，代入点到直线的距离公式求出d，设直线l_i的方程为x-y+c_i=0，利用点到直线的距离公式求出c_i；
（2）由（1）求出l₅的方程，求出l₅与两坐标轴的交点坐标，利用勾股定理和条件列出方程，再求出n的值．

解答： 解：（1）设直线l_i（1≤i≤2n，i∈N^*）的方程为x-y+c_i=0，
因为直线l_n的方程为x-y=0，且直线l_n到直线l的距离为nd，
所以

4

2

=nd，则d=

4

2 n

=

2 2

n

，
因为到直线l的距离为id，所以

|4-ci|

2

=id=i

2 2

n

，
解得c_i=4(1-

i

n

)，
所以直线l_i（1≤i≤2n，i∈N^*）的方程为x-y+4(1-

i

n

)=0；
（2）由（1）得，l₅的方程是：x-y+4(1-

5

n

)=0，
令x=0得y=4(1-

5

n

)，令y=0得x=-4(1-

5

n

)，
因为l₅被两坐标轴截得的线段长为2

2

时，
所以(2

2

)2=42(1-

5

n

)2+42(1-

5

n

)2，
解得n=10或

10

3

（舍去），则n的值是10．

点评：本题考查直线平行的条件，直线方程的求法，点到直线距离公式的应用，解题时要认真审题，属于中档题．