Question

7．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1千多年．在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑指四个面均为直角三角形的四面体．如图，在堑堵ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC．
（Ⅰ）求证：四棱锥B-A₁ACC₁为阳马；并判断四面体B-A₁CC₁是否为鳖臑，若是，请写出各个面的直角（只要求写出结论）．
（Ⅱ）若A₁A=AB=2，当阳马B-A₁ACC₁体积最大时，求二面角C-A₁B-C₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由堑堵ABC-A₁B₁C₁的性质得：四边形A₁ACC₁是矩形，推导出BC⊥A₁A，BC⊥AC，从而BC⊥平面A₁ACC₁，由此能证明四棱锥B-A₁ACC₁为阳马，四面体B-A₁CC₁是否为鳖臑，四个面的直角分别是∠A₁CB，∠A₁C₁C，∠BCC₁，∠A₁C₁B．
（Ⅱ）阳马B-A₁ACC₁的体积：$V=\frac{1}{3}{S}_{矩形{A}_{1}AC{C}_{1}}•BC$≤$\frac{1}{3}（A{C}^{2}+B{C}^{2}）=\frac{1}{3}×A{B}^{2}=\frac{4}{3}$，当且仅当AC=BC=$\sqrt{2}$时，${V}_{max}=\frac{4}{3}$，以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当阳马B-A₁ACC₁体积最大时，二面角C-A₁B-C₁的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）由堑堵ABC-A₁B₁C₁的性质得：四边形A₁ACC₁是矩形，
∵A₁A⊥底面ABC，BC?平面ABC，
∴BC⊥A₁A，又BC⊥AC，A₁A∩AC=A，A₁A，AC?平面A₁ACC₁，
∴BC⊥平面A₁ACC₁，
∴四棱锥B-A₁ACC₁为阳马，
四面体B-A₁CC₁是否为鳖臑，四个面的直角分别是∠A₁CB，∠A₁C₁C，∠BCC₁，∠A₁C₁B．
解：（Ⅱ）∵A₁A=AB=2，
由（Ⅰ）知阳马B-A₁ACC₁的体积：
$V=\frac{1}{3}{S}_{矩形{A}_{1}AC{C}_{1}}•BC$=$\frac{1}{3}×{A}_{1}A×AC×BC$=$\frac{2}{3}AC×BC$≤$\frac{1}{3}（A{C}^{2}+B{C}^{2}）=\frac{1}{3}×A{B}^{2}=\frac{4}{3}$，
当且仅当AC=BC=$\sqrt{2}$时，${V}_{max}=\frac{4}{3}$，
以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A₁（0，$\sqrt{2}$，2），B（$\sqrt{2}$，0，0），C₁（0，0，2），
∴$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=（0，$\sqrt{2}$，2），$\overrightarrow{CB}$=（$\sqrt{2}$，0，0），$\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}$=（0，$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{{C}_{1}B}$=（$\sqrt{2}$，0，-2），
设平面CA₁B的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{A}_{1}}=\sqrt{2}y+2z-0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=\sqrt{2}x=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{2}$，-1），
设平面C₁A₁B的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}=\sqrt{2}b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{C}_{1}B}=\sqrt{2}a-2c=0}\end{array}\right.$，取a=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{2}$，0，1），
设当阳马B-A₁ACC₁体积最大时，二面角C-A₁B-C₁的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}•\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$，
∴当阳马B-A₁ACC₁体积最大时，二面角C-A₁B-C₁的余弦值为$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查四棱锥是阳马的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．