Question

8．数列{a_n}的通项公式是a_n=$\frac{n}{{n}^{3}+128}$，则该数列中的最大项是$\frac{1}{48}$．

Answer 1

分析 令f（x）=$\frac{x}{{x}^{3}+128}$（x≥1），从而由导数确定函数的单调性，从而确定函数的最大值点，从而求数列的最大值．

解答 解：令f（x）=$\frac{x}{{x}^{3}+128}$（x≥1），
则f′（x）=$\frac{{x}^{3}+128-x•3{x}^{2}}{（{x}^{3}+128）^{2}}$=$\frac{-2（{x}^{3}-{4}^{3}）}{（{x}^{3}+128）^{2}}$；
故f（x）在[1，4]上是增函数，在[4，+∞）上是减函数；
故当n=4时，该数列取得最大值a₄=$\frac{4}{{4}^{3}+128}$=$\frac{1}{48}$；
故答案为：$\frac{1}{48}$．

点评 本题考查了数列的函数的特性，同时考查了导数的应用，属于基础题．