Question

在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，给出下列命题：
①若a＞b＞c，则cosA＞cosB＞cosC；
②若A＞B＞C，则sinA＞sinB＞sinC；
③若a=40，b=20，B=25°，则△ABC有两解；
④必存在A、B、C，使tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立．
其中，正确命题的编号为

 

．（写出所有正确命题的编号）

Answer 1

考点：正弦定理,命题的真假判断与应用

专题：解三角形

分析：由条件利用正弦定理、三角形中大边对大角、两角和的正切公式判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答： 解：∵在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，
∴若a＞b＞c，则由正弦定理可得 sinA＞sinB＞sinC，故①不对．
∴由A＞B＞C，可得a＞b＞c，则由正弦定理可得sinA＞sinB＞sinC，故②对．
∴若a=40，b=20，B=25°，则由正弦定理可得

40

sinA

=

20

sin25°

 sinA=2sin25°＞sin25°．
再由大边对大角可得A＞25°，故A可能是锐角，也可能是钝角，故△ABC有两解，故③对．
由于tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）=-tanC（1-tanAtanB）=tanAtanBtanC-tanC，
∴tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC，
故不存在A、B、C，使tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立，故④不对，
故答案：②③．

点评：本题主要考查正弦定理、三角形中大边对大角、两角和的正切公式以及命题真假的判断，属于中档题．