Question

14．设有两个命题，p：关于x的不等式a^x＞1（a＞0，且a≠1）的解集是{x|x＜0}；q：函数y=lg（ax²-x+a）的定义域为R．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是$0＜a≤\frac{1}{2}$或a≥1．

Answer 1

分析 p：关于x的不等式a^x＞1（a＞0，且a≠1）的解集是{x|x＜0}，则0＜a＜1；q：函数y=lg（ax²-x+a）的定义域为R，a=0时不成立，a≠0时，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=1-4{a}^{2}＜0}\end{array}\right.$，解得a范围．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则命题p与q必然一真一假．

解答 解：p：关于x的不等式a^x＞1（a＞0，且a≠1）的解集是{x|x＜0}，则0＜a＜1；
q：函数y=lg（ax²-x+a）的定义域为R，a=0时不成立，a≠0时，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=1-4{a}^{2}＜0}\end{array}\right.$，解得$0＜a＜\frac{1}{2}$．
如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则命题p与q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{a≤0或a≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a≤0或a≥1}\\{0＜a＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{2}≤a＜1$
则实数a的取值范围是．
故答案为：$0＜a≤\frac{1}{2}$或a≥1．

点评 本题考查了函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．