Question

6．如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点P如图2．
（Ⅰ）求证：DP⊥EF；
（Ⅱ）求四棱锥P-BFDE的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出PD⊥PE，PD⊥PF，从而PD⊥平面PEF，由此能证明PD⊥EF．
（Ⅱ）推导出PE=PF=BE=BF=2，EF=$\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{16+16}=4\sqrt{2}$，从而S_{四边形BFDE}=$\frac{1}{2}×BD×EF$=8，P到平面BFDE的距离d=$\sqrt{P{F}^{2}-（\frac{EF}{2}）^{2}}$=$\sqrt{2}$，由此能求出四棱锥P-BFDE的体积．

解答 证明：（Ⅰ）∵边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，
将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点P，
∴PD⊥PE，PD⊥PF，
∵PE∩PF=P，∴PD⊥平面PEF，
∵EF?平面PEF，∴PD⊥EF．
解：（Ⅱ）∵边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，
将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点P，
∴PE=PF=BE=BF=2，EF=$\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{16+16}=4\sqrt{2}$，
∴S_{四边形BFDE}=$\frac{1}{2}×BD×EF$=$\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=8，
P到平面BFDE的距离d=$\sqrt{P{F}^{2}-（\frac{EF}{2}）^{2}}$=$\sqrt{4-2}$=$\sqrt{2}$，
∴四棱锥P-BFDE的体积：
$V=\frac{1}{3}×{S}_{四边形BFDE}×d$=$\frac{1}{3}×8×\sqrt{2}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题线线垂直的证明，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．