已知四棱锥S-ABCD的底面为平行四边形.且SD⊥面ABCD.AB=2AD=2SD.∠DCB=60°.M.N分别为SB.SC中点.过MN作平面MNPQ分别与线段CD.AB相交于点P.Q．(Ⅰ)在图中作出平面MNPQ.使面MNPQ|面SAD,(Ⅱ)若$\overrightarrow{AQ}=λ\overrightarrow{AB}$.是否存在实数λ.使二面角M-PQ-B的平面角大小为60°?若存在.求出� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

11．

已知四棱锥S-ABCD的底面为平行四边形，且SD⊥面ABCD，AB=2AD=2SD，∠DCB=60°，M，N分别为SB，SC中点，过MN作平面MNPQ分别与线段CD，AB相交于点P，Q．
（Ⅰ）在图中作出平面MNPQ，使面MNPQ‖面SAD（不要求证明）；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{AQ}=λ\overrightarrow{AB}$，是否存在实数λ，使二面角M-PQ-B的平面角大小为60°？若存在，求出的λ值，若不存在，请说明理由．

分析（Ⅰ）Q是AB的中点画图即可．
（Ⅱ）证明AD⊥BD，以D为原点，直线DA为x轴，直线DB为y轴，直线DS为z轴建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，面ABCD的法向量，利用二面角M-PQ-B为60°，求出λ即可．

解答解：（Ⅰ）如图，Q是AB的中点（若NP．PQ未作成虚线，扣两分）…（4分）

（Ⅱ）在平行四边形ABCD中，设AB=2AD=4，∠DCB=60°，所以由余弦定理求得$BD=2\sqrt{3}$，有AB²=AD²+BD²，所以AD⊥BD，…．（5分）
以D为原点，直线DA为x轴，直线DB为y轴，直线DS为z轴建立空间直角坐标系，
且$A（{2，0，0}），B（{0，2\sqrt{3}，0}），S（{0，0，2}），M（{0，\sqrt{3}，1}）$，

又$\overrightarrow{AQ}=λ\overrightarrow{AB}$，设Q（x，y，z），则$（{x-2，y，z}）=λ（{-2，2\sqrt{3}，0}）$
即$Q（{2-2λ，2\sqrt{3}λ，0}）$…（7分）
设平面的法向量为$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$
由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{AD}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{MQ}=0}\end{array}}\right.$得$\overrightarrow n=（{0，1，\sqrt{3}（{2λ-1}）}）$，…（9分）
易知面ABCD的法向量为$\overrightarrow m=（{0，0，1}）$
要使二面角M-PQ-B为60°，则有$cos{60°}=\frac{1}{2}=\frac{{|{\overrightarrow m\overrightarrow{•n}}|}}{{|{\overrightarrow m}||{\overrightarrow n}|}}=\frac{{|{\sqrt{3}（{2λ-1}）}|}}{{\sqrt{1+3{{（{2λ-1}）}^2}}}}$解得$λ=\frac{1}{3}或λ=\frac{2}{3}$…．（11分）
由图可知，要使二面角M-PQ-B为60°，则$λ=\frac{1}{3}$…（12分）

点评本题考查平面与平面平行的判断，二面角的平面角的求法与应用，考查计算能力以及转化思想．

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