Question

20．如图，在多面体ABCDEF中，平面BDEF⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，四边形BDEF是矩形，BD=2BF，H是CF的中点．
（1）求证：AF∥平面BDH；
（2）求证：平面ACE⊥平面ACF．

Answer 1

分析 （1）设AC∩BD=O，连接OH，推导出OH∥AF，由此能证明AF∥平面BDH．
（2）连接OF，OE，推导出AC⊥BD，AC⊥BD，从而AC⊥平面BDEF，进而AC⊥OE．由勾股定理得OE⊥OF．从而OE⊥平面ACF，由此能证明平面ACE⊥平面ACF．

解答 证明：（1）设AC∩BD=O，连接OH，
因为四边形ABCD是菱形，O是AC的中点
又H是CF的中点，所以OH是三角形AFC的中位线，
所以OH∥AF，
又AF?平面BDH，OH?平面BDH，
∴AF∥平面BDH．
（2）连接OF，OE，四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．
因为平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，
AC?平面ABCD，AC⊥BD，
所以AC⊥平面BDEF，
又OE?平面BDEF，所以AC⊥OE．
在矩形BDEF中，设BF=a，则EF=2a，$OE=OF=\sqrt{2}a$，
由勾股定理可得，△OEF为直角三角形，且OE⊥OF．
因为OE⊥AC，OE⊥OF，AC∩FO=O，
所以OE⊥平面ACF．
又OE?平面ACE，
所以平面ACE⊥平面ACF．

点评 本题线面垂直的证明，考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．