Question

已知抛物线x²=y+1上一定点A（-1，0）和两动点P、Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围（　　）

• A、（-∞，-3]∪[1，+∞）
• B、[1，+∞）
• C、[-3，-1]
• D、（-∞，-3]

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设P（a，b）、Q（x，y），进而可表示出

AP

，

PQ

，根据PA⊥PQ得（a+1）（x-a）+（b-1）（y-b）=0，把P，Q代入抛物线方程，整理可得a²+（x-1）a+1-x=0根据方程有解，使判别式大于0，求得x的范围．

解答： 解：设P（a，b）、Q（x，y），则

AP

=（a+1，b），

PQ

=（x-a，y-b），
由垂直关系得（a+1）（x-a）+b（y-b）=0，
又P、Q在抛物线上即a²=b+1，x²=y+1，
故（a+1）（x-a）+（a²-1）（x²-a²）=0，
整理得（a+1）（x-a）[1+（a-1）（x+a）]=0，
而P和Q和A三点不重合即a≠-1，x≠a，
所以式子可化为1+（a-1）（x+a）=0，
整理得 a²+（x-1）a+1-x=0，
由题意可知，此关于a的方程有实数解  即判别式△≥0，
得（x-1）²-4（1-x）≥0解得x≤-3或x≥1；
故选：A．

点评：本题主要考查抛物线的应用和不等式的综合运用．考查了学生综合运用所学知识和运算能力．