【题目】已知椭圆的两个焦点为
,
,离心率为
,点
,
在椭圆上,
在线段
上,且
的周长等于
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过圆上任意一点
作椭圆
的两条切线
和
与圆
交于点
,
,求
面积的最大值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
试题分析:(1)由的周长为
可得
,由离心率
得
,进而的椭圆的标准方程;(2)先根据韦达定理证明两切斜线斜率积为
,进而得两切线垂直,得线段
为圆
的直径,
,然后根据不等式及圆的几何意义求
的最大值.
试题解析:(1)由的周长为
,得
,
,由离心率
,得
,
.所以椭圆的标准方程为:
.
(2)设,则
.
(ⅰ)若两切线中有一条切线的斜率不存在,则,
,另一切线的斜率为0,从而
.此时,
.
(ⅱ)若切线的斜率均存在,则,设过点
的椭圆的切线方程为
,
代入椭圆方程,消并整理得:
.
依题意,
.
设切线,
的斜率分别为
,
,从而
,即
.
线段为圆
的直径,
.
所以,
当且仅当时,
取最大值4.由(ⅰ)(ⅱ)可得:
最大值是4.
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【题目】已知,
是两条不同直线,
,
是两个不同平面,则下列命题正确的是( )
A.若,
垂直于同一平面,则
与
平行
B.若,
平行于同一平面,则
与
平行
C.若,
不平行,则在
内不存在与
平行的直线
D.若,
不平行,则
与
不可能垂直于同一平面
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【题目】某制造厂商10月份生产了一批乒乓球,从中随机抽取个进行检查,测得每个球的直径(单位:
),将数据进行分组,得到如下频率分布表:
(1)求、
、
及
、
的值,并画出频率分布直方图(结果保留两位小数);
(2)已知标准乒乓球的直径为,直径误差不超过
的为五星乒乓球,若这批乒乓球共有
个,试估计其中五星乒乓球的数目;
(3)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间的中点值是
)作为代表,估计这批乒乓球直径的平均值和中位数.
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【题目】设椭圆的离心率
,圆
与直线
相切,
为坐标原点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点任作一直线
交椭圆
于
两点,记
,若在线段
上取一点
,使得
,试判断当直线
运动时,点
是否在某一定直一上运动?若是,请求出该定直线的方程;若不是,请说明理由.
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【题目】老师讲一道数学题,李峰能听懂的概率是0.8,是指( )
A.老师每讲一题,该题有80%的部分能听懂,20%的部分听不懂
B.老师在讲的10道题中,李峰能听懂8道
C.李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80%
D.以上解释都不对
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【题目】某制造厂商10月份生产了一批乒乓球,从中随机抽取个进行检查,测得每个球的直径(单位:
),将数据进行分组,得到如下频率分布表:
(1)求、
、
及
、
的值,并画出频率分布直方图(结果保留两位小数);
(2)已知标准乒乓球的直径为,直径误差不超过
的为五星乒乓球,若这批乒乓球共有
个,试估计其中五星乒乓球的数目;
(3)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间的中点值是
)作为代表,估计这批乒乓球直径的平均值和中位数.
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【题目】已知函数(
).
(1)当时,求函数
在
上的最大值和最小值;
(2)当时,是否存在正实数
,当
(
是自然对数底数)时,函数
的最小值是3,若存在,求出
的值;若不存在,说明理由;
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