Question

9．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，AB=5，BC=4，AA₁=4，
（Ⅰ）求证：AC⊥BC₁；
（Ⅱ）在AB上是否存在点D使得AC₁∥平面CDB₁．

Answer 1

分析 （1）根据直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直，再利用直线与平面垂直的性质即可证明AC⊥BC₁．
（2）利用三角形中位线的性质证明线线平行，再根据直线与平面平行的判定定理即可证明AC₁∥平面CDB₁．

解答 证明：（1）在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，
所以AB²=AC²+BC²，故AC⊥BC．
因为C₁C⊥平面ABC，AC?平面ABC，所以AC⊥C₁C．
又C₁C?平面BB₁C₁C，BC?平面BB₁C₁C，且C₁C∩BC=C，
所以AC⊥平面BB₁C₁C．
又BC₁?平面BB₁C₁C，所以AC⊥BC₁．
（2）存在点D是AB的中点，使得AC₁∥平面CDB₁．
证明：设CB₁与C₁B的交点为E，连结DE，
因为E为正方形CBB₁C₁对角线的交点，
所以E为C₁B的中点．
又D是AB的中点，
所以DE为△ABC₁的中位线，
故DE∥AC₁．
因为AC₁?平面CDB₁，DE?平面CDB₁，所以AC₁∥平面CDB₁．

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理以及直线与平面垂直的判定定理的应用．属于中档题．