Question

【题目】已知函数的图象在处的切线经过点，且的一个极值点为-1.

（1）求的极值；

（2）已知方程在上恰有一个实数根，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），.（2）

【解析】

（1）首先求出函数的导函数，求出函数在处的切线方程，由点过切线，即可得到，再由函数的一个极值点为则，即可求出函数解析式，最后利用导数求出函数的极值；

（2）依题意可得函数的图象与直线在上恰有一个交点，结合函数图象，即可得解；

解：（1）∵，∴，

∴的图象在处的切线方程为.

∵该切线经过点，∴，即①.

又∵的一个极值点为-1，∴②.

由①②可知，，故.

，令，得或.

当变化时，，的变化情况如下表：

		-1
	+	0	-	0	+
	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

故，.

（2）∵方程在上恰有一个实数根，

∴函数的图象与直线在上恰有一个交点.

∵，，

结合函数的图象，∴.