Question

正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长为1，AA₁=2，点E、F、G分别为棱BB₁、AA₁、AD的中点，则有下列命题：
①BG∥平面A₁DE；
②A₁E⊥DE；
③平面A₁DE⊥平面BCC₁B₁；
④△A₁DE所在平面截该四棱柱所得的截面是平行四边形；
⑤△A₁DE所在平面将该四棱柱分得的两部分体积之比为7：17．
其中正确命题的序号为

 

．（填上所有正确命题的序号）

Answer 1

考点：棱柱的结构特征

专题：应用题

分析：由正方体的结构特征，对所给的几个命题用线面，面面之间的位置关系直接判断正误即可得到答案．

解答： 解：延长A1E交AB的延长线与G，连接DG交BC于H，连接EH，由已知可得H为BC中点．
①BG∥DG，平面A₁DE，∴BG∥平面A₁DE．故正确；
②，A₁D²=5，DE²=3，A₁E²=2，∴A₁E⊥DE；故正确；
③，面A₁B₁BA∩平面A₁DE=A₁E，由于面A₁B₁BA⊥平面BCC₁B₁；
若平面A₁DE⊥平面BCC₁B₁；则A₁E⊥平面BCC₁B₁，显然错误
④△A₁DE所在平面截该四棱柱所得的截面是四边形A₁EHD，不是平行四边形；故错误
⑤△A₁DE所在平面将该四棱柱分得的两部分，其中下半部分为三棱台A₁DA-EHB，其体积为

1

3

(1+

1

4

+

1 4

)=

7

12

，又
正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积为2，分得的两部分体积之比为7：17．故正确．
综上所述，正确命题的序号为①②⑤
故答案为：①②⑤

点评：本题考点是棱柱的结构特征，考查对正四棱柱的几何特征的了解，以及线面垂直，线面平行等位置关系的判定，涉及到的知识点较多，综合性强．