Question

16．（Ι）已知：复数z₁满足（z₁-2）（1+i）=1-i（i为虚数单位），复数z₂的虚部为2，z₁•z₂是实数，求z₂．
（Ⅱ）已知：双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一条渐近线方程是y=$\sqrt{3}x$，它的一个焦点在抛物线y²=24x的准线上，求双曲线的标准方程．

Answer 1

分析 （I）利用复数的运算法则及其有关概念即可得出．
（II）利用双曲线与抛物线的标准方程及其性质即可得出．

解答 （Ι）解：（z₁-2）（1+i）=1-i⇒z₁=2-i…（2分）
设z₂=a+2i，a∈R，则z₁z₂=（2-i）（a+2i）=（2a+2）+（4-a）i，…（4分）
∵z₁z₂∈R，∴z₂=4+2i…（6分）
（Ⅱ）依题意知$\left\{\begin{array}{l}\frac{b}{a}=\sqrt{3}\\ c=6\\{c^2}={a^2}+{b^2}\end{array}\right.⇒{a^2}=9，{b^2}=27$，-----------（5分）
所以双曲线的方程为$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{27}=1$-----------------（6分）

点评 本题考查了数的运算法则及其有关概念、双曲线与抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．