Question

2．已知等差数列{a_n}是递增数列，a₃=7，且a₂，a₄，a₉成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式
（Ⅱ）设b_n=a${\;}^{{2}_{\;}}$_ncosnπ（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）设等差数列{a_n}的公差为d＞0，由a₂，a₄，a₉成等比数列，可得${a}_{4}^{2}={a}_{2}{a}_{9}$，可得d=3a₁．由a₃=7，可得a₁+2d=7，联立解得a₁与d即可得出．
（II）数列{a_n}的前n项和T_n=$\frac{n（1+3n-2）}{2}$=$\frac{3{n}^{2}-n}{2}$．b_n=$（-1）^{n}{a}_{n}^{2}$，可得数列{b_n}的前n项和S_n=$-{a}_{1}^{2}+{a}_{2}^{2}$-${a}_{3}^{2}$+${a}_{4}^{2}$+…$（-1）^{n}{a}_{n}^{2}$．当n为偶数时，S_n=$-{a}_{1}^{2}+{a}_{2}^{2}$-${a}_{3}^{2}$+${a}_{4}^{2}$+…+$（-{a}_{n-1}^{2}+{a}_{n}^{2}）$=（a₂-a₁）（a₂+a₁）+（a₄-a₃）（a₄+a₃）+…+（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）=3S_n．当n为奇数时，S_n=S_n-1+b_n，即可得出．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d＞0，
由a₂，a₄，a₉成等比数列，可得${a}_{4}^{2}={a}_{2}{a}_{9}$，
∴$（{a}_{1}+3d）^{2}=（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+8d）$，化为d=3a₁．
由a₃=7，可得a₁+2d=7，
联立$\left\{\begin{array}{l}{d=3{a}_{1}}\\{{a}_{1}+2d=7}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=3}\end{array}\right.$，
∴a_n=1+3（n-1）=3n-2．
（II）数列{a_n}的前n项和T_n=$\frac{n（1+3n-2）}{2}$=$\frac{3{n}^{2}-n}{2}$．
b_n=$（-1）^{n}{a}_{n}^{2}$，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$-{a}_{1}^{2}+{a}_{2}^{2}$-${a}_{3}^{2}$+${a}_{4}^{2}$+…+$（-1）^{n}{a}_{n}^{2}$．
当n为偶数时，S_n=$-{a}_{1}^{2}+{a}_{2}^{2}$-${a}_{3}^{2}$+${a}_{4}^{2}$+…+$（-{a}_{n-1}^{2}+{a}_{n}^{2}）$
=（a₂-a₁）（a₂+a₁）+（a₄-a₃）（a₄+a₃）+…+（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）
=3（a₁+a₂+…+a_n）
=3S_n=$\frac{9{n}^{2}-3n}{2}$．
当n为奇数时，S_n=S_n-1+b_n=$\frac{9（n-1）^{2}-（n-1）}{2}$-（3n-2）²=$\frac{-9{n}^{2}+3n+4}{2}$．
综上可得：S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9{n}^{2}-3n}{2}，n为偶数}\\{\frac{-9{n}^{2}+3n+4}{2}，n为奇数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．