Question

16．已知z是复数，z+2i，$\frac{z}{2-i}$均为实数（i为虚数单位），且复数（z-ai）²在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 设复数z=m+ni（m，n∈R），利用复数的运算法则、复数为实数的充要条件、几何意义即可得出．

解答 解：设复数z=m+ni（m，n∈R），
由题意得z+2i=m+ni+2i=m+（n+2）i∈R，
∴n+2=0，即n=-2．
又∵$\frac{z}{2-i}$=$\frac{（m+ni）（2+i）}{（2-i）（2+i）}$=$\frac{2m-n}{5}+\frac{2n+m}{5}$i∈R，
∴2n+m=0，即m=-2n=4．∴z=4-2i．
∵（z-ai）²=（4-2i-ai）²=[4-（a+2）i]²=16-（a+2）²-8（a+2）i
对应的点在复平面的第一象限，横标和纵标都大于0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{16-（a+2）^{2}＞0}\\{-8（a+2）＞0}\end{array}\right.$，
解得a的取值范围为-6＜a＜-2．

点评 本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．