Question

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁₁中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=

2

，AA₁=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3．
（1）证明：BE⊥平面BB₁C₁C；
（2）求点B₁到平面EA₁C₁的距离；
（3）此问仅理科学生做（文科学生不做）求：二面角B 11C₁-E的正弦值．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,用空间向量求平面间的夹角

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）运用勾股定理判断BE⊥BC，由BB₁⊥平面ABCD，得BE⊥BB₁，BE⊥平面BB₁C₁，
（2）运用等体积的方法求解，三棱锥E-A₁B₁C₁的体积=

1

3

×AA1×S△A1B1C1=

2

，V=

1

3

•d•S △A1C1E=

5

d，从而求解出．
（3）确定∠B₁HO为所求二面角的平面角．在直角梯形A₁B₁C₁D₁中．

解答： （1）证明：过B作CD的垂线交CD于F，
则BF=AD=

2

，EF=AB-DE=1，FC=2
在Rt△BFE中，BE=

3

，在Rt△BFC中，BC=

6

在△BCE中因为，BE²+BC²=9=EC²，故BE⊥BC
由BB₁⊥平面ABCD，得BE⊥BB₁，BE⊥平面BB₁C₁，
（2）三棱锥E-A₁B₁C₁的体积=

1

3

×AA1×S△A1B1C1=

2

在Rt△A₁D₁C₁中，A₁C₁=

A1D12+D1C12

=3

2

，
同理，EC₁=

EC2+CC12

=3

2

，EA=

AD2+ED2+AA12

=2

3

因此S △A1C1E=3

5

．
设点B₁到平面EA₁C₁的距离为d，则三棱B₁-EA₁C₁锥的体积，
V=

1

3

•d•S △A1C1E=

5

d，从而

5

d=

2

，d=

10

5

，
（3）过B₁作B₁O⊥平面A₁C₁E于O，则B₁O⊥A₁C₁，
作OH⊥A₁C₁于H，连结B₁H，∴A₁C₁⊥平面B₁OH，
∴A₁C₁⊥B₁H
∴∠B₁HO为所求二面角的平面角．直角梯形A₁B₁C₁D₁中，
A₁C₁=

A1D12+D1C12

=3

2

，
S △A1B 1C1=

1

2

×A₁B₁×A₁D₁=

1

2

A1C₁•B₁H，
∴B₁H=

2

3

所以sin∠B₁HO=

B1O

B1H

=

d

2 3

=

3 10

10

即二面角B₁-A₁C₁-E₁的正弦值为

3 10

10

点评：本题考查了空间点线面的求解，空间角的求解，属于难题．