Question

8．已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²+x．
（Ⅰ）讨论函数g（x）的极值点的个数；
（Ⅱ）若不等式2f（x）≤g′（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求g（x）的导数g′（x），利用导数判断函数g（x）的单调性，从而求出g（x）的极值点；
（Ⅱ）不等式转化为a≥lnx-$\frac{3}{2}$x-$\frac{1}{2x}$对x∈（0，+∞）上恒成立，求出函数h（x）=lnx-$\frac{3x}{2}$-$\frac{1}{2x}$在（0，+∞）的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）由g（x）=x³+ax²+x，求导g′（x）=3x²+2ax+1，
判别式△=4a²-12，
令△=0，解得a=±$\sqrt{3}$；
?当-$\sqrt{3}$≤a≤$\sqrt{3}$时，△=4a²-12≤0，g′（x）≥0，
所以y=g（x）在R上单调递增，无极值，无极值点；
当a＜-$\sqrt{3}$或a＞$\sqrt{3}$时，△＞0，
所以g′（x）=3x²+2ax+1=0有两个不等的实根x₁和x₂，则
${x_1}=\frac{{-a-\sqrt{{a^2}-3}}}{3}＜{x_2}=\frac{{-a+\sqrt{{a^2}-3}}}{3}$；
从而有下表：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	单调递增	g（x1）为极大值	单调递减	g（x2）为极小值	单调递增

根据表格可知此时函数g（x）有两个极值点，极大值点x₁，极小值点x₂．
（Ⅱ）即：2xlnx≤3x²+2ax+1对x∈（0，+∞）上恒成立，
可得a≥lnx-$\frac{3}{2}$x-$\frac{1}{2x}$对x∈（0，+∞）上恒成立；
设h（x）=lnx-$\frac{3x}{2}$-$\frac{1}{2x}$，
则h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{{2x}^{2}}$=-$\frac{（x-1）（3x+1）}{{2x}^{2}}$
令h′（x）=0，得x=1或x=-$\frac{1}{3}$（舍）；
当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0
∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）_max=-2，∴a≥-2．
∴a的取值范围是[-2，+∞）．

点评 本题考查了导数的综合应用问题，也考查了转化法语不等式的解法应用问题，是综合性题目．