Question

自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用x_n表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N^*，且x₁＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x_n成正比，死亡量与x_n²成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.
（Ⅰ）求x_n+1与x_n的关系式；
（Ⅱ）猜测：当且仅当x₁，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）
（Ⅲ）设a＝2，b>0，c=1为保证对任意x₁∈（0,2），都有x_n＞0，n∈N^*，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论.

Answer 1

（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为ax_n，被捕捞量为bx_n，死亡量为

（II）猜测：当且仅当a>b，且时，每年年初鱼群的总量保持不变.
（Ⅲ）为保证对任意x₁∈(0, 2), 都有x_n>0， n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1.

本题是对数列、函数、数学归纳法等知识的综合考查，在作数列方面的应用题时，一定要认真真审题，仔细解答，避免错误．
（Ⅰ）利用题中的关系求出鱼群的繁殖量，被捕捞量和死亡量就可得到xn+1与xn的关系式；
（Ⅱ）每年年初鱼群的总量保持不变就是xn恒等于x1，转化为xn+1-xn=0恒成立，再利用（Ⅰ）的结论，就可找到x1，a，b，c所满足的条件；
（Ⅲ）先利用（Ⅰ）的结论找到关于xn和b的不等式，再利用x1∈（0，2），求出b的取值范围以及b的最大允许值，最后在用数学归纳法进行证明即可．
解（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为ax_n，被捕捞量为bx_n，死亡量为

（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则x_n恒等于x₁， n∈N*，从而由（*）式得

因为x₁>0，所以a>b.
猜测：当且仅当a>b，且时，每年年初鱼群的总量保持不变.
（Ⅲ）若b的值使得x_n>0，n∈N*
由x_n+1=x_n(3－b－x_n), n∈N*, 知
0<x_n<3－b, n∈N*, 特别地，有0<x₁<3－b. 即0<b<3－x₁.
而x₁∈(0, 2)，所以
由此猜测b的最大允许值是1.
下证 当x₁∈(0, 2) ，b=1时，都有x_n∈(0, 2), n∈N*
①当n=1时，结论显然成立.
②假设当n=k时结论成立，即x_k∈(0, 2),
则当n=k+1时，x_k+1=x_k(2－x_k­)>0.
又因为x_k+1=x_k(2－x_k)=－(x_k－1)²+1≤1<2,
所以x_k+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.
由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有x_n∈(0,2).
综上所述，为保证对任意x₁∈(0, 2), 都有x_n>0， n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1.