Question

如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED，则cos2∠CED=

 

．

Answer 1

考点：正弦定理,二倍角的余弦

专题：三角函数的求值

分析：由正方形边长与AE相等，得到三角形AED为等腰直角三角形，确定出∠EDC=135°，再直角三角形BCE中，利用勾股定理求出CE的长，在三角形CDE中，利用正弦定理求出sin∠CED的值，所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，把sin∠CED的值代入计算即可求出值．

解答： 解：∵四边形ABCD为正方形，且边长为1，
∴∠B=∠ADC=90°，AB=BC=CD=AD=AE=1，
∴△AED为等腰直角三角形，
∴∠AED=∠ADE=45°，
∴∠EDC=135°，
在Rt△BCE中，根据勾股定理得：EC=

EB2+BC2

=

22+12

=

5

，
在△DEC中，利用正弦定理得：

EC

sin∠EDC

=

DC

sin∠CED

，即

5

sin135°

=

1

sin∠CED

，
∴sin∠CED=

10

10

，
则cos2∠CED=1-2sin²∠CED=

4

5

．
故答案为：

4

5

．

点评：本题考查了二倍角的余弦函数公式，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，以及正弦定理，熟练掌握公式是解本题的关键．