Question

已知f（x）=（x²+1）e^x，经过点P（0，t）（t≠1）有且只有一条直线与曲线f（x）相切，则t的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：因为f（0）=1则P不在曲线上，设出直线与曲线的切点坐标，则当x=m时导函数的值为切线的斜率，切线过P点，表示出切线方程，利用导数研究g（x）的单调性并得到g（x）的最值，利用直线y=t与曲线g（x）=e^x（-x³-x²-x+1）有且只有一个交点得到t的取值范围．

解答： 解：因为f（x）=（x²+1）e^x，f′（x）=e^x（x+1）²
因为f（0）=1，所以点P（0，t）不在曲线f（x）上，设过点P的直线与曲线f（x）相切与点A（m，n），
则切线方程为y=e^m（m+1）²x+t，
所以有n=e^m（m+1）²m+t及n=e^m（m²+1），得t=e^m（-m³-m²-m+1）令g（x）=e^x（-x³-x²-x+1），
则g′（x）=e^x（-x³-x²-x+1）+e^x（-3x²-2x-1）=-x（x+1）（x+3）e^x，
令g′（x）=0，得x₁=-3，x₂=-1，x₃=0，
可得g（x）在区间（-∞，-3），（-1，0）单调递增，在区间（-3，-1）（0，+∞）单调递减，
所以g（x）在x=-3时取极大值g（-3）=

22

e3

，在x=-1时取极小值g（-1）=

2

e

，在x=0时取极大值g（0）=1，
又

22

e3

＞1，所以g（-3）=

22

e3

是g（x）的最大值，
如图，过点P（0，t）有且只有一条直线与曲线f（x）相切等价于直线y=t与曲线g（x）=e^x（-x³-x²-x+1）有且只有一个交点，又当x＜-3时，g（x）＞0，
所以t=

22

e3

或t≤0．
故答案为：t=

22

e3

或t≤0．

点评：考查学生利用导数研究函数的单调性的能力，以及利用导数研究曲线上某点切线方程的能力．会用数形结合的数学思想解决数学问题．