Question

已知函数f（x）=e^xsin（

3

x+φ）（0＜φ＜π）且

3

3

π是函数f（x）的一个极值点，f′（x）是函数f（x）的导函数．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）设g（x）=f′（x），求函数g（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）证明：当x＞0时，|f′（x）|＜2

3

xe^x．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由f（x）=e^xsin（

3

x+φ），得f（x）=e^x[sin（

3

x+φ）]=0，tanφ=-

3

，从而φ=

2π

3

；
（Ⅱ）由f′（x）=e^x[sin（

3

x+

2π

3

）+

3

cos（

3

x+

2π

3

）]=-2e^xsin

3

x，即g（x）=-2e^xsin

3

x，得到g′（x）=-4e^xsin（

3

x+

π

3

），由2kπ-π≤

3

x+

π

3

≤2kπ，即

2kπ- 4 3 π

3

≤x≤

2kπ- π 3

3

，故[

2kπ- 4 3 π

3

，

2kπ- π 3

3

]（k∈Z）是单调递增区间；
（Ⅲ）|f′（x）|=2e^x|sin

3

x|，只需证明|sin

3

x|＜

3

x，令t=

3

x＞0，只需证明t＞0时，h（t）=|sint|-t＜0，t≥

π

2

时，不等式显然成立，
0＜t＜

π

2

时，h（t）=sint-t，h′（t）=cost-1＜0，从而t＞0时，h（t）＜h（0）=0．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^xsin（

3

x+φ），
∴f（x）=e^x[sin（

3

x+φ）]=0，tanφ=-

3

，
∴φ=

2π

3

；
（Ⅱ）f′（x）=e^x[sin（

3

x+

2π

3

）+

3

cos（

3

x+

2π

3

）]，
=2e^xsin（

3

x+π）
=-2e^xsin

3

x，
即；g（x）=-2e^xsin

3

x，
∴g′（x）=-2（e^xsin

3

x+

3

e^xcos

3

x）
=-4e^xsin（

3

x+

π

3

），
∴2kπ-π≤

3

x+

π

3

≤2kπ，
即

2kπ- 4 3 π

3

≤x≤

2kπ- π 3

3

，
故[

2kπ- 4 3 π

3

，

2kπ- π 3

3

]（k∈Z）是单调递增区间；
（Ⅲ）|f′（x）|=2e^x|sin

3

x|，
只需证明|sin

3

x|＜

3

x，
令t=

3

x＞0，
只需证明t＞0时，h（t）=|sint|-t＜0，
t≥

π

2

时，不等式显然成立，
0＜t＜

π

2

时，h（t）=sint-t，h′（t）=cost-1＜0，
∴t＞0时，h（t）＜h（0）=0．

点评：本题考察了利用导数研究函数的单调性，求参数的取值范围，不等式的证明，是一道综合题．