Question

已知函数f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

（x∈R）
（1）求函数f（x）的最小值和最小值时x的集合；
（2）设△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，且c=

3

，f（C）=0，若

m

=（1，sinA）与

n

=（2，sinB）共线，求a，b的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先，化简函数解析式f（x）=sin（2x-

π

6

）-1，然后，借助于三角函数的图象与性质求解最值即可；
（2）根据f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0，求解C=

π

3

，然后，根据余弦定理和坐标运算求解．

解答： 解：（1）∵f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

-

1

2

=sin（2x-

π

6

）-1，
∴f（x）=sin（2x-

π

6

）-1，
∴函数f（x）的最小值为-2，当且仅当x=kπ+

5π

6

，k∈Z，时取得，
最小值时x的集合{x|x=kπ+

5π

6

，k∈Z，}．
（2）∵f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0，
∴sin（2C-

π

6

）=1，
∵0＜C＜π，
∴-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11π

6

，
∴2C-

π

6

=

π

2

，
∴C=

π

3

，
∵

m

=(1，sinA)，与

n

=（2，sinB）共线，
∴

1

2

=

sinA

sinB

=

a

b

，①
∵c2=a2+b2-2abcos

π

3

=a2+b2-ab=3，②
∴联立①②，解得
a=1，b=2．

点评：本题重点考查了三角恒等变换公式、三角函数的性质、平面向量的坐标运算等知识，属于中档题．