Question

己知α∈R，sinα+3cosα=

5

，则tan2α=

 

．

Answer 1

考点：二倍角的正切,同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：已知等式两边平方，利用同角三角函数间基本关系化简求出tanα的值，再利用二倍角的正切函数公式化简tan2α，将tanα的值代入计算即可求出值．

解答： 解：已知等式两边平方得：（sinα+3cosα）²=5，即6sinαcosα+8cos²α=

6sinαcosα+8cos2α

sin2α+cos2α

=

6tanα+8

tan2α+1

=4，
整理得：（tanα-2）（2tanα+1）=0，
解得：tanα=2或tanα=-

1

2

，
当tanα=2时，tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

4

1-4

=-

4

3

；当tanα=-

1

2

时，tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2×(- 1 2 )

1-(- 1 2 )2

=-

4

3

．
故答案为：-

4

3

点评：此题考查了二倍角的正切函数公式，以及同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．