Question

设函数f（x）=

|x+1|+|x-2|+a

（Ⅰ）当a=-5时，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数的定义域及其求法

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）易知|x+1|+|x-2|-5≥0，在同一坐标系中作出函数y=|x+1|+|x-2|和y=5 的图象，由图象可求；
（Ⅱ）由题意可知|x+1|+|x-2|≥-a恒成立，由图象求出|x+1|+|x-2|的最小值即可；

解答： 解：（Ⅰ）由题设知：|x+1|+|x-2|-5≥0，
如图，在同一坐标系中作出函数y=|x+1|+|x-2|和y=5 的图象（如图所示）
得定义域为（-∞，-2]∪[3，+∞）．
（Ⅱ）由题设知，当x∈R 时，恒有|x+1|+|x-2|+a≥-a，即|x+1|+|x-2|≥-a，
又由（Ⅰ）知|x+1|+|x-2|≥3，
当且仅当 （x+1）（x-2）≤0，即-1≤x≤2取等号，
∴-a≤3⇒a≥-3．

点评：该题卡函数的定义域及其求法，考查函数恒成立问题，考查数形结合思想．