Question

已知函数f（x）=

x

x2+1

，g（x）=

ex

x

，如果对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），不等式

f(x1)

k

≤

g(x2)

k+1

恒成立，则正数k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：利用均值定理求出f（x）_max=

1

2

．利用导数性质求出g（x）_min=g（1）=e．由不等式

f(x1)

k

≤

g(x2)

k+1

恒成立，且k＞0，得到

1 2

k

≤

e

k+1

，由此能求出正数k的取值范围．

解答： 解：x＞0时，∵f（x）=

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

≤

1

2

，∴f（x）_max=

1

2

．
∵g（x）=

ex

x

，∴g′(x)=

ex(x-1)

x2

，
令g′（x）=0，得x=1．
当x∈（0，1），g（x）′＜0；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．
∴g（x）_min=g（1）=e．
∴对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），g（x）_min＞f（x）_max．
∵不等式

f(x1)

k

≤

g(x2)

k+1

恒成立，且k＞0，
∴

1 2

k

≤

e

k+1

，解得k≥

1

2e-1

．
∴正数k的取值范围是[

1

2e-1

，+∞）．
故答案为：[

1

2e-1

，+∞）．

点评：本题主要考查了利用基本不等式求解函数的最值，导数在函数的单调性，最值求解中的应用是解答本题的另一重要方法，函数的恒成立问题的转化，本题具有一定的难度．