Question

17．已知命题p：方程$\frac{{y}^{2}}{4-t}$+$\frac{{x}^{2}}{t-8}$=1表示焦点在y轴上的双曲线；命题q：实数t使函数f（x）=log₂（x²-2tx+2t+3）的定义域是R．
（Ⅰ）若t=2时，求命题p中的双曲线的离心率及渐近线方程；
（Ⅱ）求命题￢p是命题￢q的什么条件（充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要中的一种），并说明理由．

Answer 1

分析 （I）t=2时，命题p中的双曲线为：$\frac{{y}^{2}}{2}-\frac{{x}^{2}}{6}$=1，可得a=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{6}$，c=2$\sqrt{2}$．即可得出e=$\frac{c}{a}$，其渐近线方程为y=$±\frac{a}{b}$x．
（II）命题p：方程$\frac{{y}^{2}}{4-t}$+$\frac{{x}^{2}}{t-8}$=1表示焦点在y轴上的双曲线，$\left\{\begin{array}{l}{4-t＞0}\\{t-8＜0}\end{array}\right.$，解得t，可得￢p：t≥4，令A=[4，+∞）；
命题q：实数t使函数f（x）=log₂（x²-2tx+2t+3）的定义域是R，可得x²-2tx+2t+3＞0对于x∈R恒成立，因此△＜0，解得t．可得：￢q，令B=（-∞，-1]∪[3，+∞）．即可判断出结论．

解答 解：（I）t=2时，命题p中的双曲线为：$\frac{{y}^{2}}{2}-\frac{{x}^{2}}{6}$=1，∴a²=2，b²=6，c²=a²+b²=8，∴a=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{6}$，c=2$\sqrt{2}$．∴e=$\frac{c}{a}$=2，其渐近线方程为y=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
（II）命题p：方程$\frac{{y}^{2}}{4-t}$+$\frac{{x}^{2}}{t-8}$=1表示焦点在y轴上的双曲线，$\left\{\begin{array}{l}{4-t＞0}\\{t-8＜0}\end{array}\right.$，解得t＜4，￢p：t≥4，令A=[4，+∞）；
命题q：实数t使函数f（x）=log₂（x²-2tx+2t+3）的定义域是R，∴x²-2tx+2t+3＞0对于x∈R恒成立，∴△=4t²-4（2t+3）＜0，解得-1＜t＜3．
∴￢q：t≤-1，或t≥3．令B=（-∞，-1]∪[3，+∞）．
∵A?B，
∴命题￢p是命题￢q的充分不必要条件．

点评 本题考查了双曲线的标准方程及其性质、对数函数的性质、二次函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．